Mar 18, 2016

A Quantitative Approach to Negative Rates: Curve Construction, Volatility Quotation, and Model Calibration

In this video blog Dan Li, SVP and Global Head of Financial Engineering of Numerix speaks with CMO, Jim Jockle about the Bank of Japan's recent announcement to move interest rates into negative territory. This could prove crucial and present challenges for financial institutions as a consistent modelling framework is needed to capture negative rates and to have correct PnL and accurate risk assessment.

Dan breaks down the challenges in adapting financial software to negative rates - including an examination of curve construction changes, volatility quotation, swaption cube construction and model calibration. He then addresses the existing solutions in the market including the shifted SABR, and the more advanced Free Boundary SABR approach.

(Japanese translation below English)

Jim: Hi welcome to the Numerix video blog I’m your host Jim Jockle. The bank of Japan announced in January and enacted in February negative interest rates for all of its banks; joining the Eurozone as well as the Nordics in terms of utilizing this new tool to stimulate the economy.  Joining me today is Dan Li, SVP of the Global Financial Engineering Group here at Numerix to dive into this a little bit more. Welcome Dan.

ようこそニューメリックスのビデオブログヘ。司会を務めるジム・ジョックルです。日本銀行は1月にマイナス金利政策を発表し、2月から全ての銀行に適用しました。ヨーロッパや北欧の国に倣って、経済を刺激するために新しいツールを使うことにしたのです。今日のゲストはダン・リーです。彼は弊社のグローバル ファイナンシャル エンジニア グループのSVPです。ようこそ、ダン。

Dan: Hi Jim, how are you? And thanks for having me.


Jim: Specific to derivatives, there are challenges in mispricing in terms of the models themselves. In addition, post Libor scandal we’ve introduced a dual curve environment especially as it relates to the termination of a risk free rate. Today, when you look at OIS in terms of having negative points on that curve – how is that changing the risk free rate under this dual curve methodology?


Dan: From a risk free rate POV nothing has changed, so the fundamental risk neutral pricing framework would still use the risk free rate. In this case, (the risk free rate curve) would still be the collateral curve, in term of the OIS, which would be the safest discounting curve. Also in collateralized trades, there could be CSA curve or CTD curve – so that hasn’t been changed.

With negative rates in terms of what has changed: when we do the curve construction itself, typically via bootstrapping and corresponding discount factors are extracted from the available quotes – and the arbitrage free condition here is really the discount factor itself, which should fall between zero and one and be monotonically decreasing. So that makes the instantaneous forward rate positive always. So that’s the arbitrage free condition.

When we push the rate to negative – theoretically this shouldn’t happen from an economic POV. This breaks the arbitrage free condition. So in terms of curve construction constraints this must be released. This is what we can observe in this economic phenomenon.

On the other hand, in a negative rate environment, when you deposit money in to the bank or in to the reserves – you have to pay to deposit. This is counterintuitive. So that negative rate in terms of how low it will go is a big question, an unknown. Sometime the shift you can see, especially in Europe they keep cutting that interest rates lower and lower. So things are still unclear. If you go too far, money can go under the mattress not in a bank.

無リスク金利という観点からは特に何も変わりません。基本的なリスク中立のプライシングの枠組みの中では無リスク金利が使われます。この場合、無リスク金利は担保付のカーブ、つまりOISが最も安全なディスカウントカーブでしょう。また、担保取引CTDカーブがそれに当たります。にはCSAカーブや マイナス金利で何が変わるかという点についてですが、カーブを作成するとき典型的にはブートストラップでカーブとそれに対応するディスカウントファクターを市場でクオートされている情報から作成するわけです。そして無裁定条件はディスカウントファクターそのもので、0と1の間の数で(期間が長くなるにつれ)単調に現象していく ものです。この性質により、瞬間のフォワード金利は常にポジティブです。これが無裁定条件です。金利をゼロ以下に押し下げると、これは経済学的な見地からすれば理論的にありえないことなのですが、この無裁定条件が破綻します。なのでカーブの構築については、この制約を解除する必要があります。それがこの経済的な現象において私たちが今目にしていることなのです。一方、マイナス金利環境下では銀行預金や準備金としてお金を預けるとお金を払わなければいけなくなります。これは常識に反しています。したがって、マイナス金利がどの位マイナスに沈むかは疑問ですし、誰にも分かりません。とりわけヨーロッパでは金利がどんどん切り下がっていっているなか、お金が銀行からたんす預金へとシフトする現象が見られています。この先どうなるか明確ではないのです。

Jim: In addition to the curve construction challenges, models themselves were not prepared to handle this kind of valuation change in the market, is that correct?


Dan: This presents a big challenge for the current market – from three perspectives:

1.    The curve construction perspective

2.    Volatility (which would be the cap vol surface, or swaption surface or volatility cube;) Within that, there could be a quotation change and also an interpolation effect

3.    Model calibration and pricing & risk

To be more specific, in terms of curve construction (as mentioned) from the infrastructure POV you must release the constraints of the arbitrage free conditions so you can capture the negative rate. But usually, it is fairly common – such as cross currency basis swaps or cross currency basis curve you can see negative for years.

But when you move to the volatility world – the standard quotation in the market is Black Scholes. This is seen as the (market standard) converter between the price and the implied volatility. That volatility is assumed log normal distributed. But if we have a negative rate that means the strike would become negative. For that reason, given the log normal distribution then the standard Black Scholes would fail. So in other words in the market there would be two types of solutions for the quotation purpose:

Instead of log normal, assume normal. It would allow the negative strike. On the other hand for those countries only quoted as log normal – you must do some tricks, meaning adding a shift. So you have a negative strike but add a flat shift to make a combined sum to positive. So in this case the (shifted) Black Scholes still works. This is referred to as Displaced Diffusion log normal process.

This is on the quotation side, but what’s considered most tricky is on the interpolation side. You cannot just use what you observe from quotes to price all of your derivatives, say a seasoned swaption or another derivative (e.g. Bermudan swaption).

So you really rely on constructing the cube; extract the dynamics from the cubes for implied volatilities, then you can use those dynamics to calibrate to the model then price and get the corresponding risks.

For this reason, the standard interpolation for the vol cube would be the classic SABR model (aka Stochastic, Alpha, Beta, Rho model). This model however, has similar constraints like Black Scholes – that if you have a negative rate then the model would fail.

For this reason in the market we see today two prevailing approaches. One is similar to the quotation, you just add an arbitrary shift – referred to as Shifted SABR. Another more advanced, cutting edge approach, revolutionary approach would be the Free Boundary SABR.

これは今のマーケットにとって3つの点でとても大きな挑戦です。最初に、カーブの構築という点で、次にCapVol、Swaption Vol、Vol Cubeといったボラティリティの点で。これらについてはクオートの仕方、補間方法への影響があります。三番目は、モデルのキャリブレーション、取引の評価やリスクの計算という点です。より詳しく言うと、カーブの構築については前にも言いましたが、社会基盤という観点からマイナス金利をうけいれようとすると、無裁定条件という縛りを放棄しなければいけなくなります。しかし一般的にはこの状態はとても一般的です。例えばクロス・カレンシー・ベーシス・スワップもしくはクロス・カレンシー・ベーシス・カーブはここ数年にわたってマイナス金利になっています。しかしボラティリティの世界では、マーケットの標準的なクオートはBlack Scholesです。BS式はマーケットでプライスをインプライド・ボラティリティに変換するツールの業界標準と見られています。このボラティリティは、ログノーマル分布を前提としています。しかし、マイナス金利になるとストライクもマイナスになるという意味になります。これが理由で、ログノーマル分布を前提とするBSモデルは破綻します。別の言い方をすれば、マーケットにはクオートの仕方では2種類あります。ログノーマルではなくノーマル分布を前提とすればネガティブストライクに対応可能です。一方、ログノーマルしかクオートされていない国では、ちょっとしたトリック、つまりシフトを入れてやる必要があります。ネガティブストライクでも一定のシフトを入れてやることで合計をポジティブにするのです。この場合、シフトされたBSモデルは以前使用可能です。これは拡散変換ログノーマルプロセスと呼ばれています。これはクオートについての話ですが、一番トリッキーだと思われているのが補間についてです。デリバティブの取引を評価するのに、SwaptionやBermudan Swaptionといったその他のデリバティブのクオートをそのまま使用することは出来ないのです。そこでキューブを作成しインプライドボラティリティのダイナミックスをキューブから導き出して、これらのダイナミックスに対してキャリブレーションをする事が正しい評価やリスク値を得る上でとても大事なことになります。このための、一般的なボルキューブの補間は、クラシックSABR(Stochastic, Alpha, Beta, Rho model)モデルが標準です。このモデルは、しかしBSと同じような縛りがあり、マイナス金利下では動きません。そのため、現在マーケットでは2つの手法が使用されています。一つ目はクオートと同じように任意のシフトを加えてやることです。これはShifted SABRと呼ばれています。もう一つのより洗練された先端の革命的なアプローチはFree Boundary SABRです。

Jim: In terms of the various approaches – good enough? How much risk is left unaccounted for? Are we talking mispricing, hedges or ultimately millions in losses over next couple of quarters?


Dan: Exactly. Here we just talked about the market data parts and your model – you need to capture all the negative strikes including calibration instrument elements – and for the pricing, and for the risks. For example if you added a different shift – you would have a different price or different risk profile which would impact your daily PnL, daily risk management, portfolio and capital. That would have huge impacts as well.


Jim: Stress testing has become a modern regulatory tool to understand stressed environments. But even now on the negative rates side there’s suggestions of looking at funds and portfolio performance and stressing against negative rates. How important is it as you are looking at stress scenarios to be able to take into consideration these model choices as it relates to your entire portfolio?


Dan: For some of the regulations there are requirements that all stressed scenarios and ESGs – for rates and all other quantities be positive. But now, because of this strange phenomena globally it’s not uncommon [to be negative].  Thus in my view from a regulatory perspective, along with a stressed scenario you must be able to state – whether you can capture the negative rate, or whether you can capture all the different scenarios. It’s not only curve construction, the vol surface, and vol cube, the interpolation, the model calibration, then pricing – it’s everywhere in the derivatives pricing process, as well as risk assessment.  So indeed this would have an impact.  

いくつかの監督省庁では全てのストレスシナリオおよびESGは金利やその他のファクターも含めてポジティブ(な値)でなければならないという条件があります。しかし現在、世界的な奇妙な現象により(マイナス金利は)異常ではなくなってきています。したがって私の見解では、ストレステストという規制という観点からは、マイナス金利を補足できるか、もしくは全てのシナリオに対応できるかははっきりさせる必要があると思います。これはカーブの作成の問題だけでなく、Vol Surface, Vol Cube、補間、モデルのキャリブレーション、プライシング全てです。これら全てはデリバティブのプライシングプロセスとリスクアセスメントに関わります。したがってマイナス金利は(ストレスシナリオにも)影響を与えます。

Jim: Well Dan, I want to thank you so much for your positive outlook on this negative issue. And of course on the Numerix video blog we want to talk about all the things you want to talk about so feel free to follow up on LinkedIn or on Twitter @nxanalytics we’d love to hear from you and continue this conversation. Dan thank you so much.

ダン。マイナス金利について有用な話を聞けてよかったです。Numkerix ビデオブログでは皆さんが聞きたいことを話す場にしたいので、LinkedInやツイッター@nxanalyticsをフォローして下さい。皆さんの意見をお待ちしてます。ダン、どうも有難う。

Dan: Thanks


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